Métodos Matriciales y sistemas de ecuaciones lineales

Método de montante

El Método Bareiss-Montante (también conocido solamente como Método Montante o Algoritmo de Bariess), llamado así por sus dos descubridores, René Mario Montante Pardo y Erwin H. Bareiss, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices inversas, matrices de adjuntos y determinantes. Esto e origino debido a que montante quería ayudar a sus estudiantes, y creo este método, pero años antes bareiss Creo un método donde solo se usa enteros, pero no se popularizo tanto como lo hizo montante

Método

El método consiste en ir "pivoteando" en la diagonal principal. Se comienza en el extremo superior izquierdo, el renglón donde está el pivote va a ser el renglón base de todo el sistema y la columna donde está el pivote va a ser la columna base. Con respecto a ese renglón y esa columna, donde está el pivote, se forman determinantes de dos por dos, y siempre se trabaja con números enteros, si apareciera alguna fracción hay un error, también recordar que es para matrices cuadradas.

N.E=((P*E.A.)-(E.C.P.*E.F.P))/P.A.

N.E. es el nuevo elemento, P es el pivote actual, E.A. es el elemento actual en esa posición, E.F.P. es el elemento de la fila con el pivote, E.C.P. es el elemento de la columna con el pivote y P.A. es el pivote anterior (en el primer pivote al no haber anterior el P.A. = 1 y tampoco ningún pivote puede ser 0, se cambia de fila para que no sea 0)

-17	0	-1	-6
0	-17	4	-1
0	0	-17	23
-17	0	0	-25
0	-17	0	15
0	0	-17	23
Z=	-1.352941176
Y=	-0.882352941
X=	1.470588235

 2x+3y-2z=3

x-y+z=1

2x+y+3z=-2

2	3	-2	3
1	-1	1	1
2	1	3	-2
-5	3	-2	3
0	-5	4	-1
0	-4	10	-10

Método de Gauss-Seidel

En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel

     

     
                                                           

Método

Para realizar este método es necesario que la matriz sea cuadrada, ya que entonces la formula no funcionará, y que sea diagonal dominante porque de no ser así no será muy precisa.

Una vez que se comprobó que cumple con los requisitos se empieza proceder poniendo los datos en la formula, se llegara a la respuesta cuando se cumpla el porcentaje de error o cuando la respuesta empieza a repartirse. La fórmula se hace despejando la variable correspondiente a la fila, la primera variable con la primera fila, la segunda variable con la segunda fila y así sucesivamente. Los valores a iniciar uno los puede escojer a su agrado.

4	-1	10
2	4	14
k	x	y
0	2	1
1	2.75	2.5
2	3.125	2.125
3	3.03125	1.9375
4	2.984375	1.984375
5	2.99609375	2.0078125

 4x-y=10

2x+4y=14

X=(10+y)/4

Y=(14-2x)/4

X=3

Y=2

Método de Jacobi

En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax=b. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como interación de punto fijo.

Para que este método se aplique la matriz debe ser cuadrada y preferible diagonal supero, al principio si no te dan datos iniciales, se empieza con 0 y los datos se van colocando en una formula. Se va realizando el proceso varias veces hasta llegar al margen de error o que los valores se repitan, si no se tiene los valores iniciales serán todos 0.

 5x+3y-2z=3

 x-4y+z=1

2x+y+4z=-2

k	x	y	z
0	0	0	0
1	0.6	0.25	-0.5
2	0.25	0.225	-0.8625
3	0.12	0.4031	-0.68125
4	0.0856	0.3903	-0.6607
5	0.1015	0.3937	-0.6403
6	0.1075	0.3847	-0.6491
7	0.1094	0.3854	-0.6499

 

Estas maneras de resolver los sistemas de ecuaciones nos sirven para nuestra parte de mecánica, como por ejemplo en la resolución de problemas con varios objetos con las fuerzas y con resortes. También si se hace alguna maquina como una palanca sirve, como en estática o dinámica, para saber cómo distribuir las fuerzas sin que se rompa la maquinaria 

Teoría del Error parte II

Tipos de error

1.- Error absoluto.

Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. 

El error absoluto de una medida no nos informa por sí solo de la bondad de la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio.

El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado. Hay autores que definen el error absoluto como la diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto, donde la diferencia únicamente está en el signo ya que no se toma como valor absoluto. Sin embargo, podríamos tomar como fórmula general la siguiente expresión:

Cuando el valor exacto no es conocido, por ejemplo, en cualquier medida física, se habla de cota del error absoluto, que será un valor superior al error absoluto que asegure que el error cometido nunca excederá a ese valor. Si llamamos c a la cota del error absoluto de un número, se cumplirá:

2.- Error relativo.

El error relativo es el cometido en la estimación del valor de un número, es el valor absoluto del cociente entre su error absoluto y el valor exacto. El error relativo da idea de la precisión de una medida, y se suele manejar en forma de porcentaje (%).

Muchas veces conocemos el error absoluto (Ea), pero es imposible conocer el valor exacto (A), en cuyo caso, para hallar el error relativo (Er) dividimos el error absoluto entre el valor aproximado o considerado como exacto.

También puede hablarse de cota del error relativo, que si la representamos como β, se cumplirá:

A – A´) / A  ≤  β

3.- Error porcentual.

El error porcentual es fácil de definir, es el resultado de multiplicar el error relativo por 100.

ERP = ER X 100

4.- Error de redondeo.

A continuación se analizarán brevemente algunas consecuencias de utilizar el sistema binario y una longitud de palabra finita. 

Como no es posible guardar un numero binario de longitud infinita o un numero de mas dígitos de los que posee la mantisa de la computadora que se esta empleando, se almacena sólo un numero finito de estos dígitos; como consecuencia, se comete automáticamente un pequeño error, conocido como error de redondeo, que al repetirse muchas veces puede llegar a ser considerable. 

Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos: 

Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre si. Esto es, los cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.

El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que en este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.

5.- Error de truncamiento.

Cuando una expresión matemática se remplaza por una fórmula más simple, se introduce un error, conocido como error de truncamiento. 

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Estos tipos de errores son evaluados con una formulación matemática: la serie de Taylor. 

Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi+1 en términos de la función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi. Siendo el término final:

Rn= ((ƒ(n+1) (ξ))/(n+1)!)hn+1 

En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta par aun polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o senoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos. Cada una de los términos adicionales contribuye al mejoramiento de la aproximación, aunque sea un poco.

Todas estas informaciones sobre los errores nos sirven para nuestra carrera de dos maneras, en mecánica no hace saber que tan eficiente puede estar fucionando algún sistema de maquinaria, que tan eficaz es y eficiente. En la parte industrial nos ayuda a saber que tan cerca se puede estar de la ganancia real, si los procesos que se realizan son buenos y si los procesos industriales son beneficiosos o no.