Teoría del Error parte II

Tipos de error

1.- Error absoluto.

Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. 

El error absoluto de una medida no nos informa por sí solo de la bondad de la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio.

El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado. Hay autores que definen el error absoluto como la diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto, donde la diferencia únicamente está en el signo ya que no se toma como valor absoluto. Sin embargo, podríamos tomar como fórmula general la siguiente expresión:

Cuando el valor exacto no es conocido, por ejemplo, en cualquier medida física, se habla de cota del error absoluto, que será un valor superior al error absoluto que asegure que el error cometido nunca excederá a ese valor. Si llamamos c a la cota del error absoluto de un número, se cumplirá:

2.- Error relativo.

El error relativo es el cometido en la estimación del valor de un número, es el valor absoluto del cociente entre su error absoluto y el valor exacto. El error relativo da idea de la precisión de una medida, y se suele manejar en forma de porcentaje (%).

Muchas veces conocemos el error absoluto (Ea), pero es imposible conocer el valor exacto (A), en cuyo caso, para hallar el error relativo (Er) dividimos el error absoluto entre el valor aproximado o considerado como exacto.

También puede hablarse de cota del error relativo, que si la representamos como β, se cumplirá:

A – A´) / A  ≤  β

3.- Error porcentual.

El error porcentual es fácil de definir, es el resultado de multiplicar el error relativo por 100.

ERP = ER X 100

4.- Error de redondeo.

A continuación se analizarán brevemente algunas consecuencias de utilizar el sistema binario y una longitud de palabra finita. 

Como no es posible guardar un numero binario de longitud infinita o un numero de mas dígitos de los que posee la mantisa de la computadora que se esta empleando, se almacena sólo un numero finito de estos dígitos; como consecuencia, se comete automáticamente un pequeño error, conocido como error de redondeo, que al repetirse muchas veces puede llegar a ser considerable. 

Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos: 

Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre si. Esto es, los cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.

El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que en este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.

5.- Error de truncamiento.

Cuando una expresión matemática se remplaza por una fórmula más simple, se introduce un error, conocido como error de truncamiento. 

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Estos tipos de errores son evaluados con una formulación matemática: la serie de Taylor. 

Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi+1 en términos de la función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi. Siendo el término final:

Rn= ((ƒ(n+1) (ξ))/(n+1)!)hn+1 

En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta par aun polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o senoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos. Cada una de los términos adicionales contribuye al mejoramiento de la aproximación, aunque sea un poco.

Todas estas informaciones sobre los errores nos sirven para nuestra carrera de dos maneras, en mecánica no hace saber que tan eficiente puede estar fucionando algún sistema de maquinaria, que tan eficaz es y eficiente. En la parte industrial nos ayuda a saber que tan cerca se puede estar de la ganancia real, si los procesos que se realizan son buenos y si los procesos industriales son beneficiosos o no.