Métodos Matriciales y sistemas de ecuaciones lineales

Método de montante

El Método Bareiss-Montante (también conocido solamente como Método Montante o Algoritmo de Bariess), llamado así por sus dos descubridores, René Mario Montante Pardo y Erwin H. Bareiss, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices inversas, matrices de adjuntos y determinantes. Esto e origino debido a que montante quería ayudar a sus estudiantes, y creo este método, pero años antes bareiss Creo un método donde solo se usa enteros, pero no se popularizo tanto como lo hizo montante

Método

El método consiste en ir "pivoteando" en la diagonal principal. Se comienza en el extremo superior izquierdo, el renglón donde está el pivote va a ser el renglón base de todo el sistema y la columna donde está el pivote va a ser la columna base. Con respecto a ese renglón y esa columna, donde está el pivote, se forman determinantes de dos por dos, y siempre se trabaja con números enteros, si apareciera alguna fracción hay un error, también recordar que es para matrices cuadradas.

N.E=((P*E.A.)-(E.C.P.*E.F.P))/P.A.

N.E. es el nuevo elemento, P es el pivote actual, E.A. es el elemento actual en esa posición, E.F.P. es el elemento de la fila con el pivote, E.C.P. es el elemento de la columna con el pivote y P.A. es el pivote anterior (en el primer pivote al no haber anterior el P.A. = 1 y tampoco ningún pivote puede ser 0, se cambia de fila para que no sea 0)

-17	0	-1	-6
0	-17	4	-1
0	0	-17	23
-17	0	0	-25
0	-17	0	15
0	0	-17	23
Z=	-1.352941176
Y=	-0.882352941
X=	1.470588235

 2x+3y-2z=3

x-y+z=1

2x+y+3z=-2

2	3	-2	3
1	-1	1	1
2	1	3	-2
-5	3	-2	3
0	-5	4	-1
0	-4	10	-10

Método de Gauss-Seidel

En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel

     

     
                                                           

Método

Para realizar este método es necesario que la matriz sea cuadrada, ya que entonces la formula no funcionará, y que sea diagonal dominante porque de no ser así no será muy precisa.

Una vez que se comprobó que cumple con los requisitos se empieza proceder poniendo los datos en la formula, se llegara a la respuesta cuando se cumpla el porcentaje de error o cuando la respuesta empieza a repartirse. La fórmula se hace despejando la variable correspondiente a la fila, la primera variable con la primera fila, la segunda variable con la segunda fila y así sucesivamente. Los valores a iniciar uno los puede escojer a su agrado.

4	-1	10
2	4	14
k	x	y
0	2	1
1	2.75	2.5
2	3.125	2.125
3	3.03125	1.9375
4	2.984375	1.984375
5	2.99609375	2.0078125

 4x-y=10

2x+4y=14

X=(10+y)/4

Y=(14-2x)/4

X=3

Y=2

Método de Jacobi

En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax=b. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como interación de punto fijo.

Para que este método se aplique la matriz debe ser cuadrada y preferible diagonal supero, al principio si no te dan datos iniciales, se empieza con 0 y los datos se van colocando en una formula. Se va realizando el proceso varias veces hasta llegar al margen de error o que los valores se repitan, si no se tiene los valores iniciales serán todos 0.

 5x+3y-2z=3

 x-4y+z=1

2x+y+4z=-2

k	x	y	z
0	0	0	0
1	0.6	0.25	-0.5
2	0.25	0.225	-0.8625
3	0.12	0.4031	-0.68125
4	0.0856	0.3903	-0.6607
5	0.1015	0.3937	-0.6403
6	0.1075	0.3847	-0.6491
7	0.1094	0.3854	-0.6499

 

Estas maneras de resolver los sistemas de ecuaciones nos sirven para nuestra parte de mecánica, como por ejemplo en la resolución de problemas con varios objetos con las fuerzas y con resortes. También si se hace alguna maquina como una palanca sirve, como en estática o dinámica, para saber cómo distribuir las fuerzas sin que se rompa la maquinaria